办公室里安静了下来，只剩下纸页翻动的声音。
从第一页的banach-sobolev空间范数条件验证开始，在推导算式的旁边还有一行用括号标记起来的小字。
（感谢丁兆丰学长在共振峰和纠缠点上的研究启发）
李庆国也看到了这行字，嘴角抽动了一下，欲言又止，他那个傻学生的博士研究方向，搞不好可能要没了。
翻到第三页的时候，张吉安的眉头下意识地皱了起来。
这部分的内容是对偶基的紧框架构造，韩川没有走传统正交基的路子，而是用了框架理论来解耦维数和衰减速度之间的关系。
这一部分的推导在稿纸上写得密密麻麻的。
盯着稿纸上的算式看了好一会后，张吉安忽然从笔筒里抽了一支笔出来，找了张空白的纸张开始进行验算。
很明显，对他来说，单纯的靠看弄懂手中的推导已经有些困难了。
【φ_k^(i)(α)= c· 2^(-k(s-1/2))·‖r‖_h^s· m^(-1/2).....】
【构造：令 p k:x→span{e 1，...，e k}为自然投影，则 fk(x)=lim n→∞[p n x] k的适当规范化。】
【.....】
稿纸一页页翻过。
张吉安手边的验算纸已经写满了大半张，密密麻麻全是推导。
李庆国站在旁边，目光落在稿纸上，又时而跟着张吉安的笔尖移动。
他是做偏微分方程的，对泛函分析和sobolev空间这套东西不陌生。
所以相对比之下，他比张吉安更轻松一些。
但即便是这样，伴随着稿纸上算式的深入，他也渐渐的有些吃力了起来。
“把对偶基的维数k和框架的下界a建立了一个显式的不等式。a≥c·2^(-k(s-1/2))，c是只依赖于空间维数的常数，这个不等式的推导，好像没写全。”
书桌前，张吉安对照着手中的稿纸，又看了一遍自己的推导，皱起了眉头。
正当他准备询问韩川的时候，一旁的李庆国开口道。
“他写全了，只是你没看懂而已。”
张吉安：“？？？？”
李庆国接着道：“这个不等式的推导由sobolev嵌入定理及框架不等式易得，这里是用李特尔伍德-佩利分解处理的，低频部分可以用框架不等式控制，高频部分用sobolev嵌入的余项解决。”
“这部分是实调和分析和偏微分方程的适定性理，你的主要研究方向是几何，对这方面不熟也正常。”
听到这话，张吉安愣了一下，脸上的神情尤为复杂。
他这个博士生导师，已经开始看不懂自己带的本科生学生的论文了吗？
盯着手中的稿纸看了好一会，张吉安忽然注意到了什么。
“这好像，已经不是banach空间的范数条件推算了？”
没等韩川回答，一旁的李庆国就面色古怪地开口道：“你才发现吗？”
“这部分推导，都已经开始深入圆法的核心了。”
张吉安捏着圆珠笔的手停在半空。
在他的预期里，把指数和嵌入banach空间并验证范数条件就足够韩川啃上一两周的时间了。
毕竟这方面的突破难度并不小。
但现在，他的任务不仅完成了，韩川好像还在这个基础上深入了很远的距离。
想着，张吉安又低头看了一眼手中的稿纸，然后开始往回翻，找到了对‘控制列框架能不能用到hardy-littlewood圆法的指数和估计上’验证上。
果然，在前面两页，这部分推导验算就已经完成了，剩下的部分，则是以此为基础深入圆法和控制列框架的应用。
难怪他理解起来都有些困难。
没有说话，张吉安重新翻到刚刚看过的地方，继续往下看。
这一次他看得更慢，几乎每一行都要停下来想一想。
李庆国也没再说话，拉了把椅子在旁边坐下，目光同样落在了稿纸上。
办公室中，韩川也没有催，更不敢催，就这样一直在安静地等着。
他看得出两位教授需要时间消化那些推导，所以从头到尾没有出声，只是在李庆国说到“李特尔伍德-佩利分解处理”的时候微微点了点头。
就这样，大概过去了近三十分钟的时间，张吉安才把最后一页看完，抬头看向自己这个学生。
“韩川，你过来，我问你几个问题。””
张吉安开口了，声音比平时低沉一些。
“嗯？教授。”
韩川下意识地起身走了过去。
张吉安翻到第三页，指着对偶基构造的那一段推导：“你用框架理论替代正交基，是出于什么考虑？”
韩川想都没想就回答道：“正交基在sobolev空间里的构造太依赖边界条件。如果用正交基，每一步都要验证边界正则性，到后面推导会变得非常臃肿。”
“但框架理论不需要正交性，只要求重构不等式成立，自由度大很多。”
张吉安点点头，翻到第六页：“截断参数的选取，你是怎么确定这个最优值的？”
韩川看了眼那个参数，道：“最优解应该满足两个控制函数在截断点处的导数匹配条件.....”
一个个的问题抛出，张吉安手中的稿纸翻了一半，然后停住了。